东北师范大学数学与统计学院
个人信息
School of Mathematics and Statistics,NENU
Personal Particulars
  教授
【主要研究方向】
在数学理论研究方面的主要方向如下:

1.分形几何 (分形几何学是一个比较新的非线性数学分支,其从1987年开始介入分形几何这一领域。 
a.分形变换理论[ M集、J集、分支图]: 提出了分形变换理论,具体给出了复Logistic 映射与Mandelbrot映射的内在变换关系,并具体给出了复Logistic 映射的Mandelbrot集、Julia集、分支图等的计算机实现及其数学性质分析。 
b.分形维数理论: 提出了分形维数规范化的观念,使得分形维数s在非负实数范围内连续变化时,保持一致性及整数维体积的意义。并提出了分数维空间R^s、C^s、分数维单纯形、分数维有限体的构造问题与空间性质研究的问题。
c.分形插值理论[经典插值、径向插值、旋向插值、自相似性]: 提出了分形插值的全息方法与局息方法,范围原理与带宽原理,以及分形曲线的三类几何形式,特别是旋向形式。通过局息方法可以自由地设计分形的局部结构、整体形状,通过范围原理及带宽原理可以自由地控制延展范围。提出了全息自相似、局息自相似概念,给出了自相似的一般概念及自相似的详细分类。给出了曲面格点分形插值的充要条件,纠正了目前国际上引用率很高的错误结果[其错误结果属于中国国家自然科学基金、国家杰出青年基金资助项目,以及其作者的博士论文内容],并给出了一般非平移超限插值方法。目前在分形插值领域处于国际领先水平。并在其中某些方面指导了硕士研究生毕业论文。)

2.唯一分解环上的结阵与子结阵理论 (两个多项式的结式理论是代数几何的一个重要内容。其就一般多项式系建立了结阵与子结阵理论,这对于代数几何理论本身及其应用均有重要意义。为在CAGD、数学机械化及机器定理证明等方面进一步应用提供了理论依据,同时也为多项式系的结式与子结式理论研究开辟了新的领域和方法。 该理论主要工作于1994年在吉林大学数学系冯果忱教授主持的讨论班上完成,来源于冯果忱教授提出的问题。)

3.多项式插值理论 (对多项式插值理论作了深入而系统的研究,引进了自由因子与反自由因子的概念。建立了脱重逼近法与离散求导技巧;给出了一元与多元有重差商[微商差商的统一形式]的完全展开式及多种表现形式,系统地研究了有重差商的结构;对于一元多项式完全Hermite插值问题,给出了多种基底及表现形式,获得了近百个展开公式,在此之前没有完全展开式;同时将处理一元问题的方法推广到了多元,对于多元多项式完全Hermite插值问题及张量积空间插值问题,获得了一系列完全展开的多元插值公式。特别,导入了一元对偶序列与多元对偶序列的概念,给出了一系列插值算法。 该理论的主要工作是其于1985-1986在吉林大学数学系读大二、大三时完成的,其中一元部分在1986年获得了吉大校庆四十周年“校庆杯”专业论文大奖赛数学奖第一名。)

4.完备差分方程理论 (引进了一元与多元序列对偶、函数对偶的概念,建立了差分方程完备化理论。亦即将经典的有限阶差分方程推广到了无穷阶,并将有限阶与无穷阶差分方程统一在一种形式之下,称之为完备差分方程。完备差分方程理论使得方程的解与方程本身具有统一形式,进而建立了完备差分方程的对偶理论。 该理论主要工作是其在1988年左右在吉林大学数学系读硕士时完成,其思想起源于其在大学本科时的多项式插值理论工作。)

5.平均族理论 (对平均数理论做了公理化处理,建立了平均族理论。定义了参差域、参差组、平均函数、平均族等概念,获得了一系列结果。并将经典的平均数理论归结为幂平均族,独立构造了指数平均族。并给出了平均族理论在凸分析、概率统计、CAGD、实变函数等方面的应用。并提出了在高维欧氏空间、一般希氏空间和巴氏空间上的建立平均族理论的问题,以及将平均族推广到多参数多指标平均族形式的问题,进而建立一般平均族理论。 该理论的奠基工作完成于1995年在东北师范大学工作期间,并指导了若干硕士论文。)

6.CAGD的平均族方法 (CAGD是汽车飞机外形设计、图形字形处理等许多方面的数学基础,该理论具有非常高的实用价值。在其建立的平均族理论的基础上,可以将目前CAGD中的主要方法归结为平均族理论的一个应用,进而可以利用更一般的平均族理论来研究CAGD,这为CAGD的研究开辟了一个广泛的领域。 在此方面指导了硕士论文。)

7.函数磨光理论的平均族方法 (这是其提出的一个新的研究领域。在其给出的平均簇理论观点下,可以将“函数磨光理论”与“CAGD理论”看成是同一个理论的两个方面:“CAGD理论”是离散形式,“函数磨光理论”是连续形式。这样便将以往几乎没有任何联系的两套理论统一起来。因此平均族理论开辟了展开函数磨光理论研究的更广泛的领域和更一般的方法。)

8.不等式逼近理论 (这是其提出的一个新的研究领域,是其给出的平均簇理论的一个延伸与应用。传统的不等式证明五花八门,其提出了应该估计出不等式左右两边之差究竟有多大,由此不仅可以给出不等式的证明,又可以知道不等式究竟差了多少。并具体给出了各种平均族不等式的误差估计,指导硕士生给出了三角(Minkowski)不等式、内积(Holder)不等式、凸(Jensen)不等式的误差估计,结果非常漂亮。因为在数学中很多证明都要用到不等式,因此这些结果是非常有意义的。同时,这一思想也开辟了不等式研究的一个新时代,对任何不等式都可以进行误差估计的研究,带来了一个持久的学术增长点。)

9.数学分析的多指标级数理论与可数逼近 (a.传统的数学分析级数理论是不完备的,其在完备差分方程理论中,建立了一元对偶序列理论、多元对偶序列理论,给出了一般多指标级数的概念,建立了张量卷积与多指标级数卷积的概念,这些卷积概念是完备差分方程的重要组成部分。特别,一般的向量、张量都是多指标级数的特例。因此,建立一般多指标级数理论是数学分析完备化的一个标志。事实上,有了这一思想,其研究就可以迅速展开,并可以取得意义重大的丰硕成果。 b.可数逼近是其在计算数学中提出的一个重要思想,在多年指导硕士生期间一直在宣扬这一思想。可数逼近的核心对象就是多指标序列与多指标级数,完备差分方程理论就是处理多指标序列迭代的理论工具,数学分析多指标级数理论是处理多指标序列、级数的收敛与逼近的理论工具,它们都是可数逼近思想的直接体现。可数逼近的功能可以概括为:上可九天揽月[借助级数逼近解决连续性问题——基础数学问题],下可五洋捉鳖[借助级数逼近解决离散化问题——计算数学问题]。可数逼近实际上也是点集拓扑中的核心思想,但在计算数学逼近论中并没有人明确提出这一思想。人们关心的只是怎样离散化,怎样用有限逼近无限,进而可以实现计算机上有限步计算。实际上,有限步计算的前提还是可数逼近。)

10.有理插值与Padé逼近的适定性理论 (有理插值的适定性问题多年以来一直是一个公开问题,其借助前述3.中给出的结果解决了这一问题,并纠正了国外文献中的一个错误,给出了两套平行的研究方法。同时也对有理插值理论作了公理化处理。这种方法同样可以用来处理最一般的N点Padé逼近问题。)

11.射影空间插值理论 (这是其提出的一个新的研究领域。传统的插值是在仿射空间中进行的,而射影空间插值则有广泛的应用领域。射影空间插值在其提出的平均族理论中有重要应用,是平均族理论中的一个重要工具。展开这一研究的理论基础是:复变函数论、拓扑理论、有理插值理论。)

12.三角函数与三角插值理论(三角函数论是描述客观世界中周期现象的核心工具,代数多项式与三角多项式是人们揭示客观规律的两大基石。其对三角函数作了深入研究,给出了通用频幂转换公式,简洁、深刻、而且漂亮。将在3.中对代数多项式插值理论采用的方法成功地应用到了三角多项式插值理论,推广了经典的三角插值理论,获得了一元与多元的系列结果。)

13.径向插值(球面插值)理论、旋向插值理论 (其提出了极坐标插值的思想,并将其应用到极坐标径向[球面]插值领域,给出了在径向代数插值、径向三角插值、径向混合插值方面的应用。国际上流行的球面插值可以看作是极坐标径向插值的特例。同时,提出了极坐标旋向插值的思想,突破了传统的观念,开辟了一元与多元插值理论的一个广泛的研究领域。)

14.超限插值理论 (蒙面技术是曲面设计的重要方法,其中曲边元问题是一个公开问题,其利用微分拓扑中微分同胚的技巧解决了这一问题。该方法已被航空航天部采纳并制成软件,用于飞机等外形设计。 该工作完成于1989年,并被收录到国外出版的国际会议文集中。在2004年,其建立了一般分形超限插值理论。)

15.误差理论 (误差理论是数值方法的一个基本前提。在传统的误差理论中,普遍存在符号混乱概念不清的问题,并在其应用时产生不良影响。其就此问题作了公理化处理,建立了一套统一的符号体系,澄清了误差理论中的基本概念。具体区分了近似数的两大数值特征与五大数字特征的概念,并给出了误差率的量化关系,指出了客观量的两种划分准则,重新表述了误差的传播规律。)

16.非线性规划的代数几何方法 (在给本科生辅导数学建模时,对非线性规划问题的库恩-塔克条件做了分析和整理,发现并提出了求解线性规划代数几何方法。提出了将代数几何方法与线性规划问题或者非线性规划问题相结合,展开代数规划问题研究的新领域。并提出了将其推广到一般变分问题的研究方向。)

17.高维阵与高维线性代数 (对线性代数做了推广。二次曲面已经有了完美的拓扑分类,三次以上的代数曲面至今也没有给出这种结果。二次曲面的拓扑分类是借助于二次型理论,二次型可以用对称矩阵表出,并可以利用合同变换化为标准型。要研究高次型,就要建立高维阵的理论。这也是其提出建立高维阵与高维线性代数理论的一个起因与意义,并在1994年对这一理论做了初步研究。另一个起因与意义就是可以给出一般张量的几何表示,使得张量关系在几何表述下更容易理解。)

18.微分方程的代数几何方法 (微分方程的精确求解问题始终没有一种统一的方法。其将代数簇参数化理论应用到一般微分算子多项式微分方程中,给出了微分方程代数几何求解的思想。利用这种方法可以重新处理经典的微分方程理论,以及用这种思想重写微分方程教材,将使得获解途径更符合逻辑。而一般的非代数形式可以利用可数逼近的方法转化为代数级数的形式来处理。)

19.微分方程的完备化理论(其在1988年建立差分方程完备化理论[见4.完备差分方程理论]时,曾考虑将该思想推广到微分方程,但没有成功。在2004年准备用广义差分方程申请国家自然科学基金时,又思考了一下这一问题,终于想通了怎样建立常微分方程与偏微分方程的完备化理论。最有意义的是,建立了完备差分方程与完备微分方程的内在联系,每个完备微分方程都有一个伴随完备差分方程。线性完备微分方程的解空间是可数维的,其基底由伴随线性完备差分方程的基底决定。由此也给出了完备差分方程最有意义的应用,并由此揭示了线性微分方程的通解结构,实现了统一解法。该方法将成为微分方程发展的一个里程碑,并对于建立一般微分方程统一解法起决定性作用,由此将微分方程从个例研究引入到了系统研究的时代。同时,该理论也是其提出的可数逼近思想的一个应用[九天揽月]。)

20.旋转数学 (旋转数学,是其在2004年提出的将影响整个世纪数学进展与科学进展的重要思想。 笛卡尔在300年前提出了直角坐标系的概念,建立了代数与几何之间的联系,使得数学发生了本质性的飞跃。而中国数学落后于西方的一个根本原因,就是没有坐标系的概念。 考察自然界,可以看到旋转的现象无处不在。宇宙在旋转,原子分子也在旋转。因此其认为,广义相对论、量子理论的本质是旋转,非线性的本质也是旋转。因此如果出现能够真正描述旋转的数学工具,不仅将推动数学进步,也将推动整个自然科学的进展。物理等一直没有重大进展,是因为没有新的数学工具出现。 其多年来一直在利用极坐标来研究数学,在2004年认识到在极坐标下的数学不同于直角坐标系下的数学,由此建立旋转实变理论是很自然的事,通过深入思考终于想通了也可以建立旋转复变理论。并由此建立了一般高维空间的具有明确几何意义的坐标体系,其坐标由平移坐标与旋转坐标两部分构成,坐标值可以取任意实数。对固定维数的空间,其坐标系可以有很多类,直角坐标系只是其中的一类而已。因此经典数学也只是旋转数学中的一类而已,由此推广了整个数学体系,从而经典数学也可以称为平移数学。 笛卡尔坐标系可以称为平移坐标系,而其提出的坐标体系可以称为旋转坐标系。目前已有高维柱坐标系是旋转坐标体系中的一类, 而高维球坐标经过改造后可以作为旋转坐标体系中的一类。而旋转坐标体系中的坐标系种类由维数决定,维数越高种类越多。 特别,在既含有平移坐标也含有旋转坐标的旋转坐标系中,显函数有多种几何形式。其旋向插值、分形插值几何形式的思想也来源于此。 同时,其也给出了射影旋转坐标系的概念,由此将射影理论带入到了一个全新的境界,并可以得到全新观念下非传统的各类射影流形。其认为n维流形的分类将与n维空间旋转射影坐标系的分类建立直接联系,由此也许可以彻底弄清包括三维流形在内的拓扑流形分类问题,以及解决最具国际影响的庞加莱猜想。 这一思想,立刻见效的是,数学分析、复变函数、微分方程、微分几何等许多数学分支可以在旋转坐标系下做经典理论的平行研究与统一分析,可以推动数学知识爆炸式指数增长。目前,对于旋转坐标一元微积分,已经作了初步研究,并指导本科生作了相关的毕业论文与数学实验课堂教学。同时,推广了传统的摆线概念,建立了一般摆线理论[行星运转模型],并用于本科生数学实验,提出了100多个试验题目。另外,就分形插值的几何形式指导了留学生硕士论文。)


【主要科研项目】
1. 黄伟,盛中平,宋海燕,冯龙,李少亭,肖健,高志根,王鹏飞,李岩. 基于高维时间过程型数据的依时间可变聚类分析. 国家自然科学基金项目(资助金额:48万元). 执行时间:2017-01-01至2020-12-31.
2. 刁怀安,盛中平,孙佳宁,代克非,丁丹. 分量下线性最小二乘与Tikhonov正则化问题计算适定性研究. 教育部(资助金额:3.6万元). 执行时间:2010-01-01至2012-12-01.
3. 李冰玉,盛中平,魏丽娜,于丛旭,庞敏. 基于结构矩阵的快速算法. 教育部(资助金额:3.6万元). 执行时间:2008-01-01至2010-12-01.
4. 张凯军,邱又春,盛中平,张国敬,梁波,高永丽,刘文莉,刘转转,李敬宇. 半导体超晶格模型的数学分析与数值模拟. 国家自然科学基金委员会(资助金额:22万元). 执行时间:2006-01-01至2008-12-01.
【主要科研成果】
1. 丁丹,郭晶,盛中平. 有关Hausdorff测度的两类覆盖形式. 东北师大学报(自然科学版). 2013-12-01.
2. 贾亮,魏丽娜,盛中平. 规范精度维数的伸缩准则与局部准则. 吉林大学学报(理学版). 2013-11-01.
3. 盛中平. 多项式系的子结式矩阵. 东北师大学报(自然科学版). 2013-06-01.
4. 贾亮,魏丽娜,盛中平. 规范精度维数及其收敛性. 吉林大学学报(理学版). 2013-05-01.
5. 丁丹,贾亮,盛中平. Hausdorff测度的规范化处理. 东北师大学报(自然科学版). 2013-03-01.
6. 李劲菲,盛中平. Julia集和Mandelbrot集的反演变换. 图学学报. 2012-06-01.
7. 穆罕默德.阿卜杜拉,朱本喜,盛中平. 多项式系最大公因子的并行算法. 吉林大学学报(理学版). 2011-07-01.
8. 代克非,丁丹,毛洪,盛中平. Hausdorff测度H^s(F)与Hδ^s (F)的关系. 东北师大学报(自然科学版). 2011-03-01.
9. 穆罕默德,朱本喜,王晓辉,盛中平. 有理插值 (m/n)f 方程组的性质与作用. 高等学校计算数学学报. 2009-06-01.
10. 盛中平,王晓辉,孙雪楠. 多点多重Newton型插值公式. 东北师大学报.自然科学版. 2008-06-20.
11. 盛中平,王晓辉,李冰玉. 多点多重Lagrange型插值公式. 东北师大学报(自然科学版). 2007-06-01.
12. 盛中平,王晓辉. 一般有重差商的显式公式. 东北师大学报(自然科学版). 2006-12-20.
13. 盛中平,王晓辉,朱本喜. 有理插值的扩展方程组与约束方程组. 高等学校计算数学学报. 2005-03-15.
14. 穆罕默德,饶艳,盛中平. 张量积空间多元Lagrange型插值. 2003年计算数学南京会议论文集. 2003-10-20.
15. 盛中平,王晓辉,崔凯. 多元有重偏差商公式. 2003年计算数学南京会议论文集. 2003-10-19.
16. 穆罕默德,汤养,盛中平. 张量积空间多元Taylor型插值. 2003年计算数学南京会议论文集. 2003-10-19.
17. 王晓辉,盛中平,孙凤刚. 张量积空间多元自然基底插值. 2003年计算数学南京会议论文集. 2003-10-19.
18. 穆罕默德,陈嘉,盛中平. 张量积空间多元Newton型插值. 2003年计算数学南京会议论文集. 2003-10-19.
19. Z.H.LIN,D.L.ZHU,盛中平. Finding a Minimal Efficient Solution of a Cklonvex Multiobjective Program. J OPTIMIZ THEORY APP. 2003-09-01.
20. 林正华,盛中平,杨丽,白根柱. 预估-校正算法跟踪组合内点同伦路径. 计算数学. 2002-11-01.
21. 盛中平. 有理插值问题不适定的根本原因. 高等学校计算数学学报. 2001-09-01.
22. 王晓辉,盛中平. The Understanding and Practice of Mathematical Experiment. INTERNATIONAL CONFERENCE ON MATHEMATICS EDUCATION. 2001-08-01.
23. 盛中平,王晓辉. 什么是数学实验. 高等理科教育. 2001-04-01.
24. 盛中平,王晓辉. 有理插值的基本特征. 高等学校计算数学学报. 2001-03-01.
25. 赵国辉,盛中平. 对称性与局部支集样条函数构造. 高等学校计算数学学报. 2000-09-01.
26. 林正华,于晓林,盛中平. MODIFIED NEWTON AND SECANT METHODS FOR SOLVING AN ORDER O(h4)FINITE-DIFFERENCE PROBLEM. Ann. of Diff.Eqs.. 2000-06-01.
27. 盛中平,白玉山,林正华. 近似数的吻合结构. 东北师大学报. 2000-03-01.
28. 盛中平,白玉山,林正华. 近似数的有效结构与可靠结构. 东北师大学报. 1999-06-01.
29. 盛中平,崔凯,吕显瑞. 塔形阵与塔形代数. 东北师大学报. 1999-03-01.
30. 林正华,盛中平,王嘉松. 自回归模型的一些最小二乘估计. 高等学校计算数学学报. 1999-02-01.
31. 盛中平,崔凯. 有理插值问题存在性的一个判别准则. 高等学校计算数学学报. 1999-02-01.
32. 盛中平. 广义差分方程理论. 国际青年学者科学与工程计算会议. 1999-01-01.
33. 盛中平,崔凯,吕显瑞. Kunio Kakie定理的一般形式. 东北师大学报. 1998-06-01.
34. 盛中平. 多项式系的广义结式矩阵. 东北师大学报. 1998-03-01.
35. 盛中平. 多项式系的非常元公因子存在性. 东北师大学报. 1997-09-01.
36. 盛中平,崔凯. N元平均族理论. 第八届全国院校计算数学学术文集. 1997-08-01.
37. 盛中平,崔凯. 有理插值函数存在的一个充要条件. 第八届全国高等院校计算数学学术文集. 1997-08-01.
38. 盛中平,白玉山,林正华. 关于近似数之数字特征的结构分析. 东北师大学报. 1996-09-01.
39. 盛中平,林正华. 广义Vandermonde行列式及其应用. 高等学校计算数学学报. 1996-09-01.
40. 盛中平,白玉山,林正华. 误差率的量化关系. 计量学报. 1996-03-01.
41. 盛中平,白玉山,林正华. 误差率的量化关系和客观量的划分准则. 东北师大学报. 1996-01-01.
42. 林正华,盛中平. 二阶非线性微分方程Robin边侄问题的存在唯一性. 微分方程后刊 英文版. 1996-01-01.
43. 盛中平. 广义Vandermonde行列式. 91计算机数学天津会议. 1991-05-01.
44. 周蕴时,盛中平. 曲边三角元上的BLENDING插图. ISAOC. 1990-01-01.